Álgebra lineal Ejemplos

$(\frac{6}{6 + i}) (\frac{6 - i}{6 - i})$

Paso 1

Cancela el factor común de $6 - i$ .

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Paso 1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{6 + i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

Paso 1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{6 + i} \cdot 1$

Paso 2

Multiplica $\frac{6}{6 + i}$ por $1$ .

$\frac{6}{6 + i}$

Paso 3

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{6}{6 + 1 i}$ por el conjugado de $6 + 1 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{6}{6 + 1 i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

Paso 4

Multiplica.

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Paso 4.1

Combinar.

$\frac{6 (6 - i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Paso 4.2.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{36 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Paso 4.2.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Expande $(6 + 1 i) (6 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{36 - 6 i}{6 (6 - i) + 1 i (6 - i)}$

Paso 4.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i (6 - i)}$

Paso 4.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i + 1 i (- i)}$

Paso 4.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i i}$

Paso 4.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i)}$

Paso 4.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i^{1})}$

Paso 4.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{1 + 1}}$

Paso 4.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{2}}$

Paso 4.3.2.9

Suma $- 6 i$ y $6 i$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 0 - i^{2}}$

Paso 4.3.2.10

Suma $36$ y $0$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - i^{2}}$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - - 1}$

Paso 4.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 1}$

Paso 4.3.4

Suma $36$ y $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{37}$

Paso 5

Divide la fracción $\frac{36 - 6 i}{37}$ en dos fracciones.

$\frac{36}{37} + \frac{- 6 i}{37}$

Paso 6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{36}{37} - \frac{6 i}{37}$

Paso 7

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 8

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 9

Sustituye los valores reales de $a = \frac{36}{37}$ y $b = - \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Paso 10

Obtén $| z |$ .

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Paso 10.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 10.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Paso 10.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Paso 10.2

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Paso 10.2.2

Multiplica $\frac{6^{2}}{37^{2}}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{6^{2}}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Paso 10.2.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Paso 10.2.4

Eleva $37$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Paso 10.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{36}{37}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{36^{2}}{37^{2}}}$

Paso 10.2.6

Eleva $36$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{37^{2}}}$

Paso 10.2.7

Eleva $37$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{1369}}$

Paso 10.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| z | = \sqrt{\frac{36 + 1296}{1369}}$

Paso 10.2.9

Suma $36$ y $1296$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1332}{1369}}$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $1332$ y $1369$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $37$ de $1332$ .

$| z | = \sqrt{\frac{37 (36)}{1369}}$

Paso 10.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.2.1

Factoriza $37$ de $1369$ .

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

Paso 10.3.2.2

Cancela el factor común.

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

Paso 10.3.2.3

Reescribe la expresión.

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37}}$

Paso 10.4

Reescribe $\sqrt{\frac{36}{37}}$ como $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$

Paso 10.5

Simplifica el numerador.

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Paso 10.5.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{37}}$

Paso 10.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}}$

Paso 10.6

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{37}}$ por $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Paso 10.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 10.7.1

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{37}}$ por $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Paso 10.7.2

Eleva $\sqrt{37}$ a la potencia de $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Paso 10.7.3

Eleva $\sqrt{37}$ a la potencia de $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Paso 10.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

Paso 10.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

Paso 10.7.6

Reescribe ${\sqrt{37}}^{2}$ como $37$ .

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Paso 10.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{37}$ como $37^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 10.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 10.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Paso 10.7.6.5

Evalúa el exponente.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Paso 11

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}})$

Paso 12

Como la tangente inversa de $\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}}$ produce un ángulo en el cuarto cuadrante, el valor del ángulo es $- 0.16514867$ .

$θ = - 0.16514867$

Paso 13

Sustituye los valores de $θ = - 0.16514867$ y $| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$ .

$\frac{6 \sqrt{37}}{37 (\cos (- 0.16514867) + i \sin (- 0.16514867))}$